Полимерные электреты, их свойства и применение

В нашем случае ρ зависит только от одной координаты (х), от одной координаты будут зависеть напряженность и индукция электрического поля. Кроме того, векторы направлены вдоль оси ОХ, что позволяет рассматривать только одну их проекцию на эту ось, модуль которой равен модулю соответствующего вектора. Тогда в уравнении (13) получим:

или, с учетом связи векторов D и Е:

(14)

То, что производная Е(х) отлична от нуля, доказывает зависимость от х вектора Е, т.е.

неоднородность поля внутри электрета. Аналогичное уравнение можно записать для зазора, где нет пространственного заряда:

(15)

Поле Е,. очевидно, будет однородным. Система дифференциальных уравнений (14)-(15), дополненная двумя граничными условиями:

D1-D=0 или ε1ε0Е1-εε0Е=0 (16)

V+V1=0 или (17)

позволяет решить задачу - найти электрические поля в электрете и зазоре.

Интегрируя по х (14) и (15), получаем общее решение:

(18) E1=C2 (19)

в которое входят две произвольные постоянные - С/ и С,. Их легко найти, подставив (18) и (19) в граничные условия (16) и (17), в результате получается система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

Решая систему, находим произвольные постоянные, а затем и выражения для электрических полей в зазоре и пленке:

(20)

(21)

. Частные случаи полей электретов с пространственным зарядом

Полученные выражения носят общий характер, из них можно получить конкретные выражения для полей, если подставить выражение для объемной плотности захваченного заряда ρ(х).

Электрет с поверхностным зарядом

Рассмотрим, например, случай, когда заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью ст. Найдем выражение для

объемной плотности заряда.

Рассмотрим рис. 14

Рис. 14

Выделим на пленке участок площадью S и объемом V =Ss. Полный заряд выделенного участка Q=σS. С другой стороны, этот же заряд можно вычислить через объемную плотность заряда:

откуда получаем связь σ и р(х):

(22)

Плотность заряда ρ(х)в пленке всюду равна 0, и только на самой поверхности (при х=s) обращается в бесконечность, так как весь заряд сосредоточен в слое бесконечно малого приповерхностного объема. В математике известна функция, обладающая такими свойствами - дельта-функция Дирака δ(х). Она равна нулю при всех значениях аргумента, кроме х = 0, при котором обращается в бесконечность. Логично поэтому представить объемную плотность заряда ρ (х) в виде произведения некоторой постоянной а на дельта-функцию δ(х-s), принимающую бесконечное значение при х = s:

ρ(x)=aδ(x-s) (23)

Дельта-функция обладает следующим свойством:

(24)

где f(x)- произвольная функция.

Бесконечные пределы можно заменить на конечные, включающие точку «скачка» дельта-функции, поскольку вне этой области подынтегральное выражение равно нулю. В нашем случае достаточно ограничиться пределами от 0 до s. Интегрируя (23) в этих пределах, по свойству (24) получаем:

(25)

Сравнивая с (22), приходим к выводу, что постоянная а равна δ. Таким образом, выражение для ρ(х) приобретает вид:

ρ(х)=σδ(x-s) (26)

Вычислим поля Е и E1, подставив в общие формулы (20) и (21) выражение (26):

Перейти на страницу: 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Дополнительно

Современная судовая газотурбинная установка
Современная судовая газотурбинная установка (ГТУ) успешно конкурирует с аналогичными по назначению паротурбин­ными и дизельными. От последних она выгодно отличается ком­пактностью и малой удельной массой, маневренностью и высокой ремонтопригодностью, лучшей приспособленностью к автоматиза­ции ...

Холодная прокатка листов
Холодная прокатка по сравнению с горячей имеет два больших преимущества: во-первых, она позволяет производить листы и полосы толщиной менее 0,8-1 мм, вплоть до нескольких микрон, что горячей прокаткой недостижимо; во-вторых, она обеспечивает получение продукции более высокого качества по всем пока ...

Меню сайта